N次魔方陣の縦、横、斜めの和（これを「定和」といいます。）は以下の数式で求められます。
では、実際に確かめてみます。
３次魔方陣 → Nに３を入れると、15になります。
４次魔方陣 → Nに４を入れると、34になります。
確かに公式の通りになります。では、なぜこの公式になるか、考えてみたいと思います。
４次魔方陣を例に考えてみます。aからpには、1から16の数字が重複することなく入ります。
定和をxとすると、行の和はすべて同じになるので（縦で考えてもOK）、
- a + b + c + d = x
- e + f + g + h = x
- I + j + k + l = x
- m + n + o + p = x
この４つの式を合体させると、
a + b + c + d + e + f + g + h + I + j + k + l + m + n + o + p = 4x
となります。
４次の魔法陣なので、aからp二は、1から16までの数字が入りますので、
a + b + c + d + e + f + g + h + I + j + k + l + m + n + o + p
＝ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16
となります。つまり、N次魔方陣として一般化すると、
Nx = 1 + 2 + 3 + ・・・ + N2
という等式が成り立つことになります。ここで、自然数の和を求めてみたいと思います。
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +・・・+ n
は、等差数列の和の公式から、
となります。n＝２の場合は1＋2＝3、n＝3の場合は1＋2＋3＝6になります。
では、1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ・・・ ＋ N2の合計は、nにN2を代入すればよいので、
となります。両辺をNで割れば、定和xを算出することができます。
となります。なお、
の証明は簡単です。１からnまでの総和xは、
x = 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ・・・ ＋ （n − 2） ＋（ n − 1） ＋ n
x = n + （n − 1） ＋ （n − 2） ＋ ・・・ ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1
二つ目の式は、一つ目の式の右辺をひっくり返しただけですので、同じ式です。ここで、二つの式を合体させてみます。
- 1＋n ＝ n＋1
- 2＋（n − 1）＝ n＋1
- 3＋（n − 2）＝ n＋1
という感じで、右辺の各項を単純に足していくと、右辺はn個の（n＋1）の和になります。
2x ＝ （n ＋ 1）＋（n ＋ 1）＋（n ＋ 1）＋（n ＋ 1）＋（n ＋ 1）＋・・・＋（n ＋ 1）
＝ n ×（n ＋ 1）
両辺を２で割ればと上の式になります。